Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида

[math]\displaystyle{ P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P }[/math] — многочлен от переменных [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math], которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена [math]\displaystyle{ P }[/math] обычно берутся из некоторого поля [math]\displaystyle{ {F} }[/math], и тогда уравнение [math]\displaystyle{ P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 }[/math] называется алгебраическим уравнением над полем [math]\displaystyle{ {F} }[/math].

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена [math]\displaystyle{ P }[/math].

Например, уравнение

[math]\displaystyle{ y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + x^3 - xy^2 + 3 x^2 - 1 = 0 }[/math]

является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math], которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида [math]\displaystyle{ a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0, }[/math] где [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число.
Линейное уравнение
- от одной переменной: [math]\displaystyle{ ax + b = 0, \quad a \ne 0. }[/math]
- от нескольких переменных: [math]\displaystyle{ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0. }[/math]
Квадратное уравнение
- от одной переменной: [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0. }[/math]
Кубическое уравнение
- от одной переменной: [math]\displaystyle{ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0. }[/math]
Уравнение четвёртой степени
- от одной переменной: [math]\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0. }[/math]
Уравнение пятой степени
- от одной переменной: [math]\displaystyle{ ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = 0, \quad a \neq 0. }[/math]
Уравнение шестой степени
- от одной переменной: [math]\displaystyle{ ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0, \quad a \neq 0. }[/math]
Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: [math]\displaystyle{ a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_0 = 0, }[/math] коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если [math]\displaystyle{ a_{n - k} = a_k, }[/math], при [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n }[/math].

См. также

Ссылки

Algebraic Equation Архивная копия от 17 июля 2019 на Wayback Machine на MathWorld (англ.)

Шаблон:Полиномиальные уравнения